Algebra y funciones

The One Thing

El álgebra y las funciones permiten representar, analizar y predecir relaciones entre variables. Las expresiones algebraicas se transforman mediante propiedades que conservan su valor, mientras que las funciones describen cómo una variable depende de otra mediante fórmulas, tablas, gráficos o diagramas.

Definitions and Results

• Variable: Símbolo, generalmente una letra, que representa un valor que puede cambiar o que no se conoce.
• Constante: Número cuyo valor permanece fijo dentro de una expresión o situación.
• Término algebraico: Cada parte de una expresión separada por signos de suma o resta; puede incluir un coeficiente, variables y exponentes.
• Coeficiente: Número que multiplica a una variable o a un producto de variables.
• Expresión algebraica: Combinación de números, variables y operaciones, sin signo de igualdad, como $3x+2$.
• Polinomio: Expresión algebraica formada por la suma o resta de términos con exponentes enteros no negativos.
• Grado de un polinomio: Mayor exponente de la variable en un polinomio de una variable.
• Términos semejantes: Términos que tienen las mismas variables elevadas a los mismos exponentes y que pueden combinarse.
• Producto notable: Multiplicación algebraica que sigue una estructura conocida, como el cuadrado de un binomio o la suma por diferencia.
• Factorización: Proceso de escribir una expresión como producto de dos o más factores.
• Ecuación: Igualdad entre dos expresiones que puede incluir una o más incógnitas.
• Función: Relación que asigna a cada elemento del dominio un único elemento del recorrido. Por tanto, un mismo valor de entrada no puede asociarse con dos valores de salida distintos.
• Dominio: Conjunto de valores de entrada permitidos para una función.
• Recorrido: Conjunto de valores de salida que toma una función.
• Variable independiente: Variable cuyo valor se elige o controla y que suele representarse en el eje horizontal.
• Variable dependiente: Variable cuyo valor depende de la variable independiente y que suele representarse en el eje vertical.
• Función lineal o afín: Función de la forma $f(x)=mx+b$, donde $m$ indica la pendiente y $b$ el valor inicial o intercepto con el eje vertical.
• Pendiente: Medida de la variación de la salida respecto de la entrada:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$ Esta fórmula requiere $x_1\ne x_2$.

• Función cuadrática: Función de la forma $f(x)=a{x}^2+bx+c$, con $a\ne 0$, cuya gráfica es una parábola.
• Modelación matemática: Proceso de representar una situación real mediante variables, relaciones, expresiones, ecuaciones o funciones.
• Tasa de variación: Razón que compara cuánto cambia una variable cuando cambia otra.

Propiedades y resultados fundamentales

• Propiedad distributiva:

$$a(b+c)=ab+ac.$$

• Reducción de términos semejantes:

$$3x+5x=8x.$$

• Leyes de los exponentes:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n},$$ $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\text{para }a\ne 0,$$ $$(a^m{)}^n=a^{mn}.$$

• Productos notables:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,$$ $$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2,$$ $$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$

• Factor común:

$$ab+ac=a(b+c).$$

• En una ecuación, las operaciones aplicadas en un lado deben aplicarse también en el otro para conservar la igualdad.
• Una función puede representarse mediante una fórmula, una tabla de valores, un gráfico o un diagrama de correspondencia.
• En $f(x)=mx+b$:

- $m>0$ indica crecimiento. - $m<0$ indica decrecimiento. - $m=0$ indica una función constante.

• En una función afín, $b=f(0)$ corresponde al valor inicial.
• La función cuadrática $f(x)=a{x}^2+bx+c$ tiene eje de simetría:

$$x=-\frac{b}{2a}.$$

• El vértice de una parábola es un mínimo si $a>0$ y un máximo si $a<0$.
• Las raíces o ceros son los valores de $x$ para los cuales $f(x)=0$, y corresponden a las intersecciones con el eje horizontal.
• El dominio puede estar restringido por la situación real, por ejemplo, a cantidades no negativas, tiempos dentro de un intervalo o denominadores distintos de cero.

Worked Methods

1. Simplificación mediante la propiedad distributiva

• Identificar el factor que multiplica a un paréntesis.
• Multiplicar ese factor por cada término dentro del paréntesis.
• Escribir los productos conservando los signos.
• Reducir términos semejantes si aparecen.

La regla general es: $$a(b+c)=ab+ac.$$

2. Reducción de términos semejantes

• Identificar términos con las mismas variables y los mismos exponentes.
• Sumar o restar sus coeficientes.
• Mantener la parte literal sin modificar.

Ejemplo: $$3x+5x=8x.$$

3. Aplicación de las leyes de los exponentes

Para multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: $$a^m\cdot a^n=a^{m+n}.$$

Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes, siempre que $a\ne 0$: $$\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}.$$

Para elevar una potencia a otra potencia, se multiplican los exponentes: $$(a^m{)}^n=a^{mn}.$$

4. Desarrollo de productos notables

Para desarrollar un cuadrado de binomio, se utiliza:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2,$$

o bien:

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2.$$

Para una suma por una diferencia:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2.$$

El procedimiento consiste en reconocer la estructura antes de multiplicar término por término.

5. Factorización por factor común

• Determinar el factor numérico y literal común a todos los términos.
• Extraerlo fuera de un paréntesis.
• Escribir dentro del paréntesis los factores restantes.

La relación fundamental es: $$ab+ac=a(b+c).$$

La factorización transforma una suma o diferencia en un producto de factores.

6. Resolución de una ecuación

• Identificar las operaciones que afectan a la incógnita.
• Aplicar operaciones equivalentes en ambos lados de la ecuación.
• Simplificar cada lado.
• Aislar la incógnita.
• Comprobar el resultado sustituyéndolo en la ecuación original.

La igualdad se conserva únicamente si la misma operación válida se realiza en ambos lados.

7. Cálculo e interpretación de la pendiente

Dados dos puntos $(x_1,y_1)$ y $(x_2,y_2)$:

• Calcular el cambio de la salida: $y_2-y_1$.
• Calcular el cambio de la entrada: $x_2-x_1$.
• Dividir ambos cambios:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

• Verificar que $x_1\ne x_2$.
• Interpretar el signo:

- $m>0$: la relación crece. - $m<0$: la relación decrece. - $m=0$: la función es constante.

En la función afín: $$f(x)=mx+b,$$ el valor $b=f(0)$ es el valor inicial o intercepto con el eje vertical.

8. Análisis de una función cuadrática

Para una función: $$f(x)=a{x}^2+bx+c,a\ne 0,$$

• Identificar los coeficientes $a$, $b$ y $c$.
• Determinar el eje de simetría:

$$x=-\frac{b}{2a}.$$

• Analizar el signo de $a$:

- Si $a>0$, la parábola se abre hacia arriba y el vértice representa un mínimo. - Si $a<0$, la parábola se abre hacia abajo y el vértice representa un máximo.

• Encontrar las raíces resolviendo:

$$f(x)=0.$$

• Interpretar las raíces como intersecciones con el eje horizontal.

9. Construcción de un modelo matemático

• Identificar las variables relevantes.
• Distinguir la variable independiente de la variable dependiente.
• Establecer las unidades de cada variable.
• Determinar las relaciones entre las variables.
• Expresar la situación mediante una expresión, ecuación o función.
• Determinar las restricciones del dominio, como cantidades no negativas, tiempos dentro de un intervalo o denominadores distintos de cero.
• Analizar el modelo mediante una tabla, un gráfico o la fórmula.
• Verificar que los resultados tengan sentido en el contexto.
• Interpretar el modelo como una aproximación de la realidad y ajustarlo si la información disponible lo exige.

Las representaciones verbal, simbólica, tabular y gráfica deben poder conectarse porque muestran distintos aspectos de una misma relación.

Where It Goes Wrong

• Se confunden una expresión algebraica y una ecuación: la expresión no contiene signo de igualdad, mientras que la ecuación sí.
• Se combinan términos que no son semejantes; solo pueden reducirse términos con las mismas variables elevadas a los mismos exponentes.
• Se aplican incorrectamente los productos notables, especialmente el término central $2ab$ en $(a+b{)}^2$ y $-2ab$ en $(a-b{)}^2$.
• Se olvidan las condiciones de las leyes de los exponentes, en particular $a\ne 0$ en $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.
• Se calcula la pendiente sin comprobar que $x_1\ne x_2$, o se invierte el orden de los cambios en el numerador y el denominador.
• Se acepta un dominio algebraicamente posible sin considerar las restricciones de la situación real, como cantidades no negativas, intervalos de tiempo o denominadores distintos de cero.

What Gets Asked

• Identificar variables, constantes, coeficientes, términos algebraicos, polinomios y grados.
• Clasificar y reducir términos semejantes, incluyendo $3x+5x=8x$.
• Aplicar la propiedad distributiva, las leyes de los exponentes y los productos notables.
• Factorizar expresiones mediante factor común, usando $ab+ac=a(b+c)$.
• Resolver ecuaciones aplicando operaciones equivalentes en ambos lados y comprobar la solución.
• Determinar si una relación es una función a partir de tablas, gráficos o diagramas, verificando que cada entrada tenga una única salida.
• Identificar dominio, recorrido, variable independiente y variable dependiente.
• Calcular e interpretar la pendiente mediante:

$$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

• Interpretar $m$ y $b$ en una función afín $f(x)=mx+b$, incluido el valor inicial $b=f(0)$.
• Analizar una función cuadrática $f(x)=a{x}^2+bx+c$: eje de simetría, vértice, máximo o mínimo y raíces.
• Traducir una situación real a una expresión, ecuación o función.
• Establecer unidades, restricciones de dominio y tasa de variación en un modelo.
• Relacionar una fórmula con su tabla de valores, gráfico, diagrama de correspondencia e interpretación verbal.
• Comprobar si los resultados de un modelo tienen sentido dentro del contexto.