Probabilidad y estadistica

The One Thing

La estadística organiza e interpreta datos mediante medidas numéricas y representaciones gráficas, mientras que la probabilidad cuantifica la incertidumbre. La validez de las conclusiones depende del contexto, de la calidad de la muestra, de la elección adecuada de las medidas y de la distinción entre asociación y causalidad.

Definitions and Results

• Población: conjunto total de personas, objetos o situaciones que se desea estudiar.
• Muestra: parte de la población seleccionada para realizar un estudio.
• Variable: característica que puede tomar distintos valores en los elementos estudiados.
• Variable cualitativa: variable que describe categorías o cualidades, como color, comuna o tipo de transporte.
• Variable cuantitativa: variable cuyos valores son números y representan cantidades, como edad, estatura o tiempo.
• Frecuencia absoluta: cantidad de veces que aparece un valor o categoría.
• Frecuencia relativa: proporción del total correspondiente a un valor o categoría. Se calcula como frecuencia absoluta dividida por el número total de datos.
• Media aritmética: promedio obtenido al sumar todos los datos y dividir la suma por la cantidad de datos:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}.$$

• Mediana: valor central de los datos ordenados. Si hay una cantidad par de datos, es el promedio de los dos valores centrales.
• Moda: dato o categoría que aparece con mayor frecuencia.
• Rango: diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo:

$$\text{rango}=\text{valor maˊximo}-\text{valor mıˊnimo}.$$

• Cuartiles: valores que dividen los datos ordenados en cuatro partes aproximadamente iguales.
• Rango intercuartílico: diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil:

$$RI=Q_3-Q_1.$$

• Diagrama de caja: gráfico que representa el mínimo, el primer cuartil, la mediana, el tercer cuartil y el máximo; permite observar la dispersión y posibles valores atípicos.
• Probabilidad: número entre 0 y 1 que representa qué tan posible es que ocurra un evento. También puede expresarse como porcentaje. Siempre cumple:

$$0\le P(A)\le 1.$$ El valor 0 representa un evento imposible y el valor 1, un evento seguro. Para expresarla como porcentaje, se calcula $P(A)\times 100\%$.

• Experimento aleatorio: situación cuyo resultado no puede conocerse con certeza antes de realizarla, aunque se conozcan sus posibles resultados.
• Espacio muestral: conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
• Evento o suceso: conjunto de uno o más resultados del espacio muestral.
• Probabilidad clásica: si todos los resultados son igualmente posibles:

$$P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}.$$

• Probabilidad experimental: estimación de la probabilidad basada en la proporción de veces que ocurre un evento al repetir un experimento. Suele aproximarse a la probabilidad teórica cuando el experimento se repite muchas veces bajo condiciones similares.
• Evento complementario: evento que ocurre cuando no ocurre $A$. Su probabilidad es:

$$P(A^c)=1-P(A).$$

• Eventos mutuamente excluyentes: eventos que no pueden ocurrir simultáneamente. En ese caso:

$$P(A\cap B)=0,P(A\text{ o }B)=P(A)+P(B).$$

• Eventos independientes: eventos en los que la ocurrencia de uno no modifica la probabilidad del otro:

$$P(A\text{ y }B)=P(A)\cdot P(B).$$

• Probabilidad condicional: probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que ocurrió $B$:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ y }B)}{P(B)},$$ siempre que $P(B)\ne 0$.

• Regla general de la unión: para dos eventos cualesquiera:

$$P(A\text{ o }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ y }B).$$

• Diagrama de árbol: representación que organiza resultados posibles en etapas y facilita el cálculo de probabilidades conjuntas y condicionales.
• Correlación: relación estadística entre dos variables. Una correlación no demuestra por sí sola que una variable cause la otra.
• Tablas de doble entrada: permiten analizar frecuencias conjuntas, frecuencias marginales y probabilidades condicionadas.

Worked Methods

1. Organizar e interpretar datos

• Identificar la población y, si corresponde, la muestra.
• Determinar la variable y clasificarla como cualitativa o cuantitativa.
• Organizar los datos en categorías o valores.
• Calcular la frecuencia absoluta de cada valor o categoría.
• Calcular la frecuencia relativa dividiendo cada frecuencia absoluta por el número total de datos.
• Seleccionar una representación adecuada, como una tabla o un gráfico.
• Interpretar los resultados en su contexto, sin basarse en una medida aislada.

2. Calcular medidas de tendencia central

• Ordenar los datos cuando sea necesario, especialmente para determinar la mediana.
• Calcular la media sumando todos los datos y dividiendo por su cantidad:

$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}.$$

• Determinar la mediana:

- si la cantidad de datos es impar, seleccionar el valor central; - si es par, calcular el promedio de los dos valores centrales.

• Determinar la moda identificando el dato o categoría con mayor frecuencia.
• Comparar las medidas considerando la distribución de los datos y la presencia de valores extremos.

La media puede verse afectada por valores extremos; por ello, la mediana suele ser más representativa cuando existen datos muy alejados.

3. Calcular medidas de dispersión y utilizar un diagrama de caja

• Identificar el valor máximo y el valor mínimo.
• Calcular el rango:

$$\text{rango}=\text{valor maˊximo}-\text{valor mıˊnimo}.$$

• Ordenar los datos y determinar $Q_1$, la mediana y $Q_3$.
• Calcular el rango intercuartílico:

$$RI=Q_3-Q_1.$$

• Representar, si corresponde, el mínimo, $Q_1$, la mediana, $Q_3$ y el máximo en un diagrama de caja.
• Comparar conjuntos de datos considerando tanto el centro como la dispersión, y no solo el promedio.

4. Interpretar gráficos y evaluar su fiabilidad

• Revisar el título del gráfico.
• Identificar las unidades.
• Examinar la escala y comprobar que sea proporcional.
• Revisar las etiquetas de los ejes y de las categorías.
• Consultar la fuente de los datos.
• Verificar que la representación sea clara y no produzca conclusiones engañosas.
• Interpretar el gráfico junto con el contexto y la calidad de la muestra.

Una muestra sesgada puede producir conclusiones que no representan adecuadamente a toda la población.

5. Calcular una probabilidad clásica

• Determinar el espacio muestral, es decir, todos los resultados posibles.
• Identificar el evento $A$ y contar sus casos favorables.
• Verificar que los resultados sean igualmente posibles.
• Aplicar:

$$P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}.$$

• Comprobar que el resultado esté entre 0 y 1.
• Si se solicita un porcentaje, multiplicar por $100\%$.

6. Estimar una probabilidad experimental

• Repetir el experimento aleatorio bajo condiciones similares.
• Contar el número total de repeticiones.
• Contar cuántas veces ocurre el evento.
• Calcular la proporción de ocurrencias:

$$P_{\text{experimental}}(A)=\frac{\text{nuˊmero de veces que ocurre }A}{\text{nuˊmero total de repeticiones}}.$$

• Comparar la estimación con la probabilidad teórica, considerando que la aproximación suele mejorar al aumentar el número de repeticiones.

7. Calcular probabilidades de eventos complementarios

• Identificar el evento $A$.
• Determinar $P(A)$.
• Reconocer que $A^c$ representa que no ocurre $A$.
• Aplicar:

$$P(A^c)=1-P(A).$$

8. Calcular la probabilidad de una unión

• Identificar los eventos $A$ y $B$.
• Determinar $P(A)$, $P(B)$ y $P(A\text{ y }B)$.
• Aplicar la regla general:

$$P(A\text{ o }B)=P(A)+P(B)-P(A\text{ y }B).$$

• Si los eventos son mutuamente excluyentes, establecer $P(A\text{ y }B)=0$ y usar:

$$P(A\text{ o }B)=P(A)+P(B).$$

9. Calcular la probabilidad de eventos independientes

• Verificar que la ocurrencia de un evento no modifique la probabilidad del otro.
• Identificar $P(A)$ y $P(B)$.
• Aplicar:

$$P(A\text{ y }B)=P(A)\cdot P(B).$$

10. Calcular una probabilidad condicional y utilizar un diagrama de árbol

• Identificar el evento que se conoce, $B$, y comprobar que $P(B)\ne 0$.
• Determinar la probabilidad conjunta $P(A\text{ y }B)$.
• Aplicar:

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\text{ y }B)}{P(B)}.$$

• Si el experimento ocurre en etapas, construir un diagrama de árbol.
• Asignar las probabilidades a las ramas.
• Multiplicar las probabilidades a lo largo de una rama para obtener probabilidades conjuntas.
• Sumar las ramas correspondientes cuando se requiera una probabilidad total.

11. Analizar tablas de doble entrada

• Identificar las categorías de las filas y las columnas.
• Leer las frecuencias conjuntas de cada celda.
• Calcular los totales de filas y columnas como frecuencias marginales.
• Obtener probabilidades conjuntas dividiendo una frecuencia conjunta por el total.
• Obtener probabilidades condicionadas dividiendo la frecuencia conjunta por el total correspondiente a la condición.

12. Interpretar correlaciones

• Identificar las dos variables estudiadas.
• Describir si cambian conjuntamente y en qué sentido.
• Distinguir la asociación observada de una relación causal.
• No afirmar que una variable provoca cambios en la otra únicamente porque exista correlación.
• Considerar el contexto y la posibilidad de otros factores que expliquen la relación.

Where It Goes Wrong

• Confundir población con muestra y generalizar conclusiones de una muestra sesgada a toda la población.
• Elegir la media sin considerar valores extremos; en distribuciones con datos muy alejados, la mediana puede ser más representativa.
• Comparar conjuntos usando solo el promedio y olvidar la dispersión, el rango o el rango intercuartílico.
• Interpretar un gráfico sin revisar título, unidades, escala, etiquetas y fuente, especialmente cuando la escala no es proporcional.
• Aplicar la suma de probabilidades a eventos que no son mutuamente excluyentes sin restar $P(A\text{ y }B)$.
• Usar la multiplicación $P(A)\cdot P(B)$ sin comprobar que los eventos sean independientes, o aplicar probabilidad condicional cuando $P(B)=0$.

What Gets Asked

• Definir población, muestra, variable cualitativa, variable cuantitativa, frecuencia absoluta y frecuencia relativa.
• Calcular e interpretar media, mediana, moda, rango, cuartiles y rango intercuartílico.
• Construir o leer un diagrama de caja e identificar dispersión y posibles valores atípicos.
• Calcular frecuencias relativas y analizar tablas de doble entrada con frecuencias conjuntas y marginales.
• Evaluar si un gráfico es claro, proporcional y adecuado según su título, unidades, escala, etiquetas y fuente.
• Calcular probabilidades clásicas y experimentales, expresándolas como fracción, decimal o porcentaje.
• Determinar probabilidades de eventos complementarios, mutuamente excluyentes, independientes y condicionales.
• Resolver probabilidades compuestas mediante la regla general de la unión y diagramas de árbol.
• Interpretar una correlación sin confundir asociación estadística con causalidad.
• Justificar conclusiones estadísticas considerando el contexto, la representatividad de la muestra, el centro, la dispersión y la incertidumbre.